R语言股票市场指数:ARMA-GARCH模型和对数收益率数据探..._CSDN博客

来自 : CSDN技术社区 发布时间：2021-03-25

## [1] xts zoo

让我们看一下DJI xts对象 它提供了六个时间序列 我们可以看到。

head(DJI)## DJI.Open DJI.High DJI.Low DJI.Close DJI.Volume DJI.Adjusted## 2007-01-03 12459.54 12580.35 12404.82 12474.52 327200000 12474.52## 2007-01-04 12473.16 12510.41 12403.86 12480.69 259060000 12480.69## 2007-01-05 12480.05 12480.13 12365.41 12398.01 235220000 12398.01## 2007-01-08 12392.01 12445.92 12337.37 12423.49 223500000 12423.49## 2007-01-09 12424.77 12466.43 12369.17 12416.60 225190000 12416.60## 2007-01-10 12417.00 12451.61 12355.63 12442.16 226570000 12442.16tail(DJI)## DJI.Open DJI.High DJI.Low DJI.Close DJI.Volume DJI.Adjusted## 2018-12-21 22871.74 23254.59 22396.34 22445.37 900510000 22445.37## 2018-12-24 22317.28 22339.87 21792.20 21792.20 308420000 21792.20## 2018-12-26 21857.73 22878.92 21712.53 22878.45 433080000 22878.45## 2018-12-27 22629.06 23138.89 22267.42 23138.82 407940000 23138.82## 2018-12-28 23213.61 23381.88 22981.33 23062.40 336510000 23062.40## 2018-12-31 23153.94 23333.18 23118.30 23327.46 288830000 23327.46

更准确地说 我们有可用的OHLC 开盘 高 低 收盘 指数值 调整后的收盘价和交易量。在这里 我们可以看到生成的相应图表。

我们在此分析调整后的收盘价。

DJI[, DJI.Adjusted ]

简单对数收益率

简单的收益定义为

对数收益率定义为

 

我们计算对数收益率。

CalculateReturns(dj_close, method log )

让我们看看。

head(dj_ret)## DJI.Adjusted## 2007-01-04 0.0004945580## 2007-01-05 -0.0066467273## 2007-01-08 0.0020530973## 2007-01-09 -0.0005547987## 2007-01-10 0.0020564627## 2007-01-11 0.0058356461tail(dj_ret)## DJI.Adjusted## 2018-12-21 -0.018286825## 2018-12-24 -0.029532247## 2018-12-26 0.048643314## 2018-12-27 0.011316355## 2018-12-28 -0.003308137## 2018-12-31 0.011427645

给出了下面的图。

可以看到波动率的急剧上升和下降。第3部分将对此进行深入验证。

辅助函数

我们需要一些辅助函数来简化一些基本的数据转换 摘要和绘图。

1.从xts转换为带有year and value列的数据框。这样就可以进行年度总结和绘制。

 df_t - data.frame(year factor(year(index(data_xts))), value coredata(data_xts)) colnames(df_t) - c( year , value )

2.摘要统计信息 用于存储为数据框列的数据。

 rownames(basicStats(rnorm(10,0,1))) # 基本统计数据输出行名称with(dataset, tapply(value, year, basicStats))

3.返回关联的列名。

 colnames(basicstats[r, which(basicstats[r,] threshold), drop FALSE])

4.基于年的面板箱线图。

 p - ggplot(data data, aes(x year, y value)) theme_bw() theme(legend.position none ) geom_boxplot(fill blue )

5.密度图 以年份为基准。

 p - ggplot(data data, aes(x value)) geom_density(fill lightblue )  p - p facet_wrap(. ~ year)

6.基于年份的QQ图。

 p - ggplot(data dataset, aes(sample value)) stat_qq(colour blue ) stat_qq_line()  p - p facet_wrap(. ~ year)

7. Shapiro检验

pvalue - function (v) { shapiro.test(v)$p.value

每日对数收益率探索性分析

我们将原始的时间序列转换为具有年和值列的数据框。这样可以按年简化绘图和摘要。

head(ret_df)## year value## 1 2007 0.0004945580## 2 2007 -0.0066467273## 3 2007 0.0020530973## 4 2007 -0.0005547987## 5 2007 0.0020564627## 6 2007 0.0058356461tail(ret_df)## year value## 3014 2018 -0.018286825## 3015 2018 -0.029532247## 3016 2018 0.048643314## 3017 2018 0.011316355## 3018 2018 -0.003308137## 3019 2018 0.011427645

基本统计摘要

给出了基本统计摘要。

## 2007 2008 2009 2010 2011## nobs 250.000000 253.000000 252.000000 252.000000 252.000000## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000## Minimum -0.033488 -0.082005 -0.047286 -0.036700 -0.057061## Maximum 0.025223 0.105083 0.066116 0.038247 0.041533## 1. Quartile -0.003802 -0.012993 -0.006897 -0.003853 -0.006193## 3. Quartile 0.005230 0.007843 0.008248 0.004457 0.006531## Mean 0.000246 -0.001633 0.000684 0.000415 0.000214## Median 0.001098 -0.000890 0.001082 0.000681 0.000941## Sum 0.061427 -0.413050 0.172434 0.104565 0.053810## SE Mean 0.000582 0.001497 0.000960 0.000641 0.000837## LCL Mean -0.000900 -0.004580 -0.001207 -0.000848 -0.001434## UCL Mean 0.001391 0.001315 0.002575 0.001678 0.001861## Variance 0.000085 0.000567 0.000232 0.000104 0.000176## Stdev 0.009197 0.023808 0.015242 0.010182 0.013283## Skewness -0.613828 0.224042 0.070840 -0.174816 -0.526083## Kurtosis 1.525069 3.670796 2.074240 2.055407 2.453822## 2012 2013 2014 2015 2016## nobs 250.000000 252.000000 252.000000 252.000000 252.000000## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000## Minimum -0.023910 -0.023695 -0.020988 -0.036402 -0.034473## Maximum 0.023376 0.023263 0.023982 0.038755 0.024384## 1. Quartile -0.003896 -0.002812 -0.002621 -0.005283 -0.002845## 3. Quartile 0.004924 0.004750 0.004230 0.005801 0.004311## Mean 0.000280 0.000933 0.000288 -0.000090 0.000500## Median -0.000122 0.001158 0.000728 -0.000211 0.000738## Sum 0.070054 0.235068 0.072498 -0.022586 0.125884## SE Mean 0.000470 0.000403 0.000432 0.000613 0.000501## LCL Mean -0.000645 0.000139 -0.000564 -0.001298 -0.000487## UCL Mean 0.001206 0.001727 0.001139 0.001118 0.001486## Variance 0.000055 0.000041 0.000047 0.000095 0.000063## Stdev 0.007429 0.006399 0.006861 0.009738 0.007951## Skewness 0.027235 -0.199407 -0.332766 -0.127788 -0.449311## Kurtosis 0.842890 1.275821 1.073234 1.394268 2.079671## 2017 2018## nobs 251.000000 251.000000## NAs 0.000000 0.000000## Minimum -0.017930 -0.047143## Maximum 0.014468 0.048643## 1. Quartile -0.001404 -0.005017## 3. Quartile 0.003054 0.005895## Mean 0.000892 -0.000231## Median 0.000655 0.000695## Sum 0.223790 -0.057950## SE Mean 0.000263 0.000714## LCL Mean 0.000373 -0.001637## UCL Mean 0.001410 0.001175## Variance 0.000017 0.000128## Stdev 0.004172 0.011313## Skewness -0.189808 -0.522618## Kurtosis 2.244076 2.802996

在下文中 我们对上述一些相关指标进行了具体评论。

每日对数收益率具有正平均值的年份是

filter_stats(stats, Mean , 0)## [1] 2007 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2016 2017 

按升序排列。

## 2008 2018 2015 2011 2007 2012 2014## Mean -0.001633 -0.000231 -9e-05 0.000214 0.000246 0.00028 0.000288## 2010 2016 2009 2017 2013## Mean 0.000415 5e-04 0.000684 0.000892 0.000933

正中位数是

filter_stats(dj_stats, Median , 0)## [1] 2007 2009 2010 2011 2013 2014 2016 2017 2018 

以升序排列。

## 2008 2015 2012 2017 2010 2018 2014## Median -0.00089 -0.000211 -0.000122 0.000655 0.000681 0.000695 0.000728## 2016 2011 2009 2007 2013## Median 0.000738 0.000941 0.001082 0.001098 0.001158

偏度 Skewness 可以用来度量随机变量概率分布的不对称性。

公式

 

其中  是均值   是标准差。

几何意义

偏度的取值范围为(-∞, ∞)

当偏度 0时 概率分布图左偏 也叫负偏分布 其偏度 0 。

当偏度 0时 表示数据相对均匀的分布在平均值两侧 不一定是绝对的对称分布。

当偏度 0时 概率分布图右偏 也叫正偏分布 其偏度 0 。

例如上图中 左图形状左偏 右图形状右偏。

每日对数收益出现正偏的年份是

## [1] 2008 2009 2012 

按升序返回对数偏度。

stats[ Skewness ,order(stats[ Skewness ,## 2007 2011 2018 2016 2014 2013## Skewness -0.613828 -0.526083 -0.522618 -0.449311 -0.332766 -0.199407## 2017 2010 2015 2012 2009 2008## Skewness -0.189808 -0.174816 -0.127788 0.027235 0.07084 0.224042

峰度 Kurtosis 可以用来度量随机变量概率分布的陡峭程度。

公式

其中  是均值   是标准差。

几何意义

峰度的取值范围为[1, ∞) 完全服从正态分布的数据的峰度值为 3 峰度值越大 概率分布图越高尖 峰度值越小 越矮胖。

 

 

例如上图中 左图是标准正太分布 峰度 3 右图的峰度 4 可以看到右图比左图更高尖。

通常我们将峰度值减去3 也被称为超值峰度 Excess Kurtosis 这样正态分布的峰度值等于0 当峰度值 0 则表示该数据分布与正态分布相比较为高尖 当峰度值 0 则表示该数据分布与正态分布相比较为矮胖。

每日对数收益出现超值峰度的年份是

## [1] 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 ## [11] 2017 2018 

按升序返回超值峰度。

## 2012 2014 2013 2015 2007 2010 2009## Kurtosis 0.84289 1.073234 1.275821 1.394268 1.525069 2.055407 2.07424## 2016 2017 2011 2018 2008## Kurtosis 2.079671 2.244076 2.453822 2.802996 3.670796

2018年的峰度最接近2008年。

我们可以看到2008年出现了最极端的值。从2009年开始 除了2011年和2015年以外 其他所有值的范围都变窄了。但是 与2017年和2018年相比 产生极端值的趋势明显改善。

densityplot(ret_df)

 

2007年具有显着的负偏。2008年的特点是平坦。2017年的峰值与2018年的平坦度和左偏一致。

shapiro检验

shapirot(ret_df)## result## 2007 5.989576e-07## 2008 5.782666e-09## 2009 1.827967e-05## 2010 3.897345e-07## 2011 5.494349e-07## 2012 1.790685e-02## 2013 8.102500e-03## 2014 1.750036e-04## 2015 5.531137e-03## 2016 1.511435e-06## 2017 3.304529e-05## 2018 1.216327e-07

正常的零假设在2007-2018年的所有年份均被拒绝。

每周对数收益率探索性分析

可以从每日对数收益率开始计算每周对数收益率。让我们假设分析第{t-4 t-3 t-2 t-1 t}天的交易周 并知道第t-5天 前一周的最后一天 的收盘价。我们将每周的对数收益率定义为

可以写为

因此 每周对数收益率是应用于交易周窗口的每日对数收益率之和。

我们来看看每周的对数收益率。

该图显示波动率急剧上升和下降。我们将原始时间序列数据转换为数据框。

head(weekly_ret_df)## year value## 1 2007 -0.0061521694## 2 2007 0.0126690596## 3 2007 0.0007523559## 4 2007 -0.0062677053## 5 2007 0.0132434177## 6 2007 -0.0057588519tail(weekly_ret_df)## year value## 622 2018 0.05028763## 623 2018 -0.04605546## 624 2018 -0.01189714## 625 2018 -0.07114867## 626 2018 0.02711928## 627 2018 0.01142764

基本统计摘要

dataframe_basicstats(weekly_ret_df)## 2007 2008 2009 2010 2011 2012## nobs 52.000000 52.000000 53.000000 52.000000 52.000000 52.000000## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000## Minimum -0.043199 -0.200298 -0.063736 -0.058755 -0.066235 -0.035829## Maximum 0.030143 0.106977 0.086263 0.051463 0.067788 0.035316## 1. Quartile -0.009638 -0.031765 -0.015911 -0.007761 -0.015485 -0.010096## 3. Quartile 0.014808 0.012682 0.022115 0.016971 0.014309 0.011887## Mean 0.001327 -0.008669 0.003823 0.002011 0.001035 0.001102## Median 0.004244 -0.006811 0.004633 0.004529 0.001757 0.001166## Sum 0.069016 -0.450811 0.202605 0.104565 0.053810 0.057303## SE Mean 0.002613 0.006164 0.004454 0.003031 0.003836 0.002133## LCL Mean -0.003919 -0.021043 -0.005115 -0.004074 -0.006666 -0.003181## UCL Mean 0.006573 0.003704 0.012760 0.008096 0.008736 0.005384## Variance 0.000355 0.001975 0.001051 0.000478 0.000765 0.000237## Stdev 0.018843 0.044446 0.032424 0.021856 0.027662 0.015382## Skewness -0.680573 -0.985740 0.121331 -0.601407 -0.076579 -0.027302## Kurtosis -0.085887 5.446623 -0.033398 0.357708 0.052429 -0.461228## 2013 2014 2015 2016 2017 2018## nobs 52.000000 52.000000 53.000000 52.000000 52.000000 53.000000## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000## Minimum -0.022556 -0.038482 -0.059991 -0.063897 -0.015317 -0.071149## Maximum 0.037702 0.034224 0.037693 0.052243 0.028192 0.050288## 1. Quartile -0.001738 -0.006378 -0.012141 -0.007746 -0.002251 -0.011897## 3. Quartile 0.011432 0.010244 0.009620 0.012791 0.009891 0.019857## Mean 0.004651 0.001756 -0.000669 0.002421 0.004304 -0.001093## Median 0.006360 0.003961 0.000954 0.001947 0.004080 0.001546## Sum 0.241874 0.091300 -0.035444 0.125884 0.223790 -0.057950## SE Mean 0.001828 0.002151 0.002609 0.002436 0.001232 0.003592## LCL Mean 0.000981 -0.002563 -0.005904 -0.002470 0.001830 -0.008302## UCL Mean 0.008322 0.006075 0.004567 0.007312 0.006778 0.006115## Variance 0.000174 0.000241 0.000361 0.000309 0.000079 0.000684## Stdev 0.013185 0.015514 0.018995 0.017568 0.008886 0.026154## Skewness -0.035175 -0.534403 -0.494963 -0.467158 0.266281 -0.658951## Kurtosis -0.200282 0.282354 0.665460 2.908942 -0.124341 -0.000870

在下文中 我们对上述一些相关指标进行了具体评论。

每周对数收益呈正平均值的年份是

## [1] 2007 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2016 2017 

所有平均值按升序排列。

## 2008 2018 2015 2011 2012 2007 2014## Mean -0.008669 -0.001093 -0.000669 0.001035 0.001102 0.001327 0.001756## 2010 2016 2009 2017 2013## Mean 0.002011 0.002421 0.003823 0.004304 0.004651

中位数是

## [1] 2007 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 ## [11] 2018 

所有中值按升序排列。

## 2008 2015 2012 2018 2011 2016 2014## Median -0.006811 0.000954 0.001166 0.001546 0.001757 0.001947 0.003961## 2017 2007 2010 2009 2013## Median 0.00408 0.004244 0.004529 0.004633 0.00636

出现正偏的年份是

stats(stats, Skewness , 0)## [1] 2009 2017 

所有偏度按升序排列。

stats[ Skewness ,order(stats[ Skewness ,,])]## 2008 2007 2018 2010 2014 2015## Skewness -0.98574 -0.680573 -0.658951 -0.601407 -0.534403 -0.494963## 2016 2011 2013 2012 2009 2017## Skewness -0.467158 -0.076579 -0.035175 -0.027302 0.121331 0.266281

出现正峰度的年份是

filter_stats(stats, Kurtosis , 0)## [1] 2008 2010 2011 2014 2015 2016 

峰度值都按升序排列。

## 2012 2013 2017 2007 2009 2018## Kurtosis -0.461228 -0.200282 -0.124341 -0.085887 -0.033398 -0.00087## 2011 2014 2010 2015 2016 2008## Kurtosis 0.052429 0.282354 0.357708 0.66546 2.908942 5.446623

2008年也是每周峰度最高的年份。但是 在这种情况下 2017年的峰度为负 而2016年的峰度为第二。

 

shapiro检验

shapirot(weekly_df)## result## 2007 0.0140590311## 2008 0.0001397267## 2009 0.8701335006## 2010 0.0927104389## 2011 0.8650874270## 2012 0.9934600084## 2013 0.4849043121## 2014 0.1123139646## 2015 0.3141519756## 2016 0.0115380989## 2017 0.9465281164## 2018 0.0475141869

零假设在2007、2008、2016年被拒绝。

在2008年尤其明显地违背正态分布的情况。

 

交易量探索性分析

在这一部分中 本文将分析道琼斯工业平均指数 DJIA 的交易量。

获取数据

 

每日量探索性分析

我们绘制每日交易量。

vol - DJI[, DJI.Volume ]plot(vol)

值得注意的是 2017年初的水平跃升 我们将在第4部分中进行研究。我们将时间序列数据和时间轴索引转换为数据框。

head(dj_vol_df)## year value## 1 2007 327200000## 2 2007 259060000## 3 2007 235220000## 4 2007 223500000## 5 2007 225190000## 6 2007 226570000tail(dj_vol_df)## year value## 3015 2018 900510000## 3016 2018 308420000## 3017 2018 433080000## 3018 2018 407940000## 3019 2018 336510000## 3020 2018 288830000

基本统计摘要

## 2007 2008 2009 2010## nobs 2.510000e 02 2.530000e 02 2.520000e 02 2.520000e 02## NAs 0.000000e 00 0.000000e 00 0.000000e 00 0.000000e 00## Minimum 8.640000e 07 6.693000e 07 5.267000e 07 6.840000e 07## Maximum 4.571500e 08 6.749200e 08 6.729500e 08 4.598900e 08## 1. Quartile 2.063000e 08 2.132100e 08 1.961850e 08 1.633400e 08## 3. Quartile 2.727400e 08 3.210100e 08 3.353625e 08 2.219025e 08## Mean 2.449575e 08 2.767164e 08 2.800537e 08 2.017934e 08## Median 2.350900e 08 2.569700e 08 2.443200e 08 1.905050e 08## Sum 6.148432e 10 7.000924e 10 7.057354e 10 5.085193e 10## SE Mean 3.842261e 06 5.965786e 06 7.289666e 06 3.950031e 06## LCL Mean 2.373901e 08 2.649672e 08 2.656970e 08 1.940139e 08## UCL Mean 2.525248e 08 2.884655e 08 2.944104e 08 2.095728e 08## Variance 3.705505e 15 9.004422e 15 1.339109e 16 3.931891e 15## Stdev 6.087286e 07 9.489163e 07 1.157199e 08 6.270480e 07## Skewness 9.422400e-01 1.203283e 00 1.037015e 00 1.452082e 00## Kurtosis 1.482540e 00 2.064821e 00 6.584810e-01 3.214065e 00## 2011 2012 2013 2014## nobs 2.520000e 02 2.500000e 02 2.520000e 02 2.520000e 02## NAs 0.000000e 00 0.000000e 00 0.000000e 00 0.000000e 00## Minimum 8.410000e 06 4.771000e 07 3.364000e 07 4.287000e 07## Maximum 4.799800e 08 4.296100e 08 4.200800e 08 6.554500e 08## 1. Quartile 1.458775e 08 1.107150e 08 9.488000e 07 7.283000e 07## 3. Quartile 1.932400e 08 1.421775e 08 1.297575e 08 9.928000e 07## Mean 1.804133e 08 1.312606e 08 1.184434e 08 9.288516e 07## Median 1.671250e 08 1.251950e 08 1.109250e 08 8.144500e 07## Sum 4.546415e 10 3.281515e 10 2.984773e 10 2.340706e 10## SE Mean 3.897738e 06 2.796503e 06 2.809128e 06 3.282643e 06## LCL Mean 1.727369e 08 1.257528e 08 1.129109e 08 8.642012e 07## UCL Mean 1.880897e 08 1.367684e 08 1.239758e 08 9.935019e 07## Variance 3.828475e 15 1.955108e 15 1.988583e 15 2.715488e 15## Stdev 6.187468e 07 4.421660e 07 4.459353e 07 5.211034e 07## Skewness 1.878239e 00 3.454971e 00 3.551752e 00 6.619268e 00## Kurtosis 5.631080e 00 1.852581e 01 1.900989e 01 5.856136e 01## 2015 2016 2017 2018## nobs 2.520000e 02 2.520000e 02 2.510000e 02 2.510000e 02## NAs 0.000000e 00 0.000000e 00 0.000000e 00 0.000000e 00## Minimum 4.035000e 07 4.589000e 07 1.186100e 08 1.559400e 08## Maximum 3.445600e 08 5.734700e 08 6.357400e 08 9.005100e 08## 1. Quartile 8.775250e 07 8.224250e 07 2.695850e 08 2.819550e 08## 3. Quartile 1.192150e 08 1.203550e 08 3.389950e 08 4.179200e 08## Mean 1.093957e 08 1.172089e 08 3.112396e 08 3.593710e 08## Median 1.021000e 08 9.410500e 07 2.996700e 08 3.414700e 08## Sum 2.756772e 10 2.953664e 10 7.812114e 10 9.020213e 10## SE Mean 2.433611e 06 4.331290e 06 4.376432e 06 6.984484e 06## LCL Mean 1.046028e 08 1.086786e 08 3.026202e 08 3.456151e 08## UCL Mean 1.141886e 08 1.257392e 08 3.198590e 08 3.731270e 08## Variance 1.492461e 15 4.727538e 15 4.807442e 15 1.224454e 16## Stdev 3.863238e 07 6.875709e 07 6.933572e 07 1.106550e 08## Skewness 3.420032e 00 3.046742e 00 1.478708e 00 1.363823e 00## Kurtosis 1.612326e 01 1.122161e 01 3.848619e 00 3.277164e 00

在下文中 我们对上面显示的一些相关指标进行了评论。

每日交易量具有正平均值的年份是

## [1] 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 ## [11] 2017 2018 

所有每日交易量均值按升序排列。

## 2014 2015 2016 2013 2012 2011 2010## Mean 92885159 109395714 117208889 118443373 131260600 180413294 201793373## 2007 2008 2009 2017 2018## Mean 244957450 276716364 280053730 311239602 359371036

每日交易量中位数为正的年份是

## [1] 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 ## [11] 2017 2018 

所有每日成交量中值均按升序排列。

## 2014 2016 2015 2013 2012 2011 2010## Median 81445000 94105000 102100000 110925000 125195000 167125000 190505000## 2007 2009 2008 2017 2018## Median 235090000 244320000 256970000 299670000 341470000

每日交易量出现正偏的年份是

## [1] 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 ## [11] 2017 2018 

每日交易量偏度值均按升序排列。

## 2007 2009 2008 2018 2010 2017 2011## Skewness 0.94224 1.037015 1.203283 1.363823 1.452082 1.478708 1.878239## 2016 2015 2012 2013 2014## Skewness 3.046742 3.420032 3.454971 3.551752 6.619268

有正峰度的年份是

## [1] 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 ## [11] 2017 2018 

按升序排列。

## 2009 2007 2008 2010 2018 2017 2011## Kurtosis 0.658481 1.48254 2.064821 3.214065 3.277164 3.848619 5.63108## 2016 2015 2012 2013 2014## Kurtosis 11.22161 16.12326 18.52581 19.00989 58.56136

 

从2010年开始交易量开始下降 2017年出现了显着增长。2018年的交易量甚至超过了2017年和其他年份。

shapiro检验

## result## 2007 6.608332e-09## 2008 3.555102e-10## 2009 1.023147e-10## 2010 9.890576e-13## 2011 2.681476e-16## 2012 1.866544e-20## 2013 6.906596e-21## 2014 5.304227e-27## 2015 2.739912e-21## 2016 6.640215e-23## 2017 4.543843e-12## 2018 9.288371e-11

正态分布的零假设被拒绝。

QQplots直观地确认了每日交易量分布的非正态情况。

每日交易量对数比率探索性分析

与对数收益类似 我们可以将交易量对数比率定义为

vt ln(Vt/Vt−1)
我们可以通过PerformanceAnalytics包中的CalculateReturns对其进行计算并将其绘制出来。

plot(vol_log_ratio)

将交易量对数比率时间序列数据和时间轴索引映射到数据框。

head(dvol_df)## year value## 1 2007 -0.233511910## 2 2007 -0.096538449## 3 2007 -0.051109832## 4 2007 0.007533076## 5 2007 0.006109458## 6 2007 0.144221282tail(vol_df)## year value## 3014 2018 0.44563907## 3015 2018 -1.07149878## 3016 2018 0.33945998## 3017 2018 -0.05980236## 3018 2018 -0.19249224## 3019 2018 -0.15278959

基本统计摘要

## 2007 2008 2009 2010 2011## nobs 250.000000 253.000000 252.000000 252.000000 252.000000## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000## Minimum -1.606192 -1.122526 -1.071225 -1.050181 -2.301514## Maximum 0.775961 0.724762 0.881352 1.041216 2.441882## 1. Quartile -0.123124 -0.128815 -0.162191 -0.170486 -0.157758## 3. Quartile 0.130056 0.145512 0.169233 0.179903 0.137108## Mean -0.002685 0.001203 -0.001973 -0.001550 0.000140## Median -0.010972 0.002222 -0.031748 -0.004217 -0.012839## Sum -0.671142 0.304462 -0.497073 -0.390677 0.035162## SE Mean 0.016984 0.016196 0.017618 0.019318 0.026038## LCL Mean -0.036135 -0.030693 -0.036670 -0.039596 -0.051141## UCL Mean 0.030766 0.033100 0.032725 0.036495 0.051420## Variance 0.072112 0.066364 0.078219 0.094041 0.170850## Stdev 0.268536 0.257612 0.279677 0.306661 0.413341## Skewness -0.802037 -0.632586 0.066535 -0.150523 0.407226## Kurtosis 5.345212 2.616615 1.500979 1.353797 14.554642## 2012 2013 2014 2015 2016## nobs 250.000000 252.000000 252.000000 252.000000 252.000000## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000## Minimum -2.158960 -1.386215 -2.110572 -1.326016 -1.336471## Maximum 1.292956 1.245202 2.008667 1.130289 1.319713## 1. Quartile -0.152899 -0.145444 -0.144280 -0.143969 -0.134011## 3. Quartile 0.144257 0.149787 0.134198 0.150003 0.141287## Mean 0.001642 -0.002442 0.000200 0.000488 0.004228## Median -0.000010 -0.004922 0.013460 0.004112 -0.002044## Sum 0.410521 -0.615419 0.050506 0.123080 1.065480## SE Mean 0.021293 0.019799 0.023514 0.019010 0.019089## LCL Mean -0.040295 -0.041435 -0.046110 -0.036952 -0.033367## UCL Mean 0.043579 0.036551 0.046510 0.037929 0.041823## Variance 0.113345 0.098784 0.139334 0.091071 0.091826## Stdev 0.336667 0.314299 0.373274 0.301780 0.303028## Skewness -0.878227 -0.297951 -0.209417 -0.285918 0.083826## Kurtosis 8.115847 4.681120 9.850061 4.754926 4.647785## 2017 2018## nobs 251.000000 251.000000## NAs 0.000000 0.000000## Minimum -0.817978 -1.071499## Maximum 0.915599 0.926101## 1. Quartile -0.112190 -0.119086## 3. Quartile 0.110989 0.112424## Mean -0.000017 0.000257## Median -0.006322 0.003987## Sum -0.004238 0.064605## SE Mean 0.013446 0.014180## LCL Mean -0.026500 -0.027671## UCL Mean 0.026466 0.028185## Variance 0.045383 0.050471## Stdev 0.213032 0.224658## Skewness 0.088511 -0.281007## Kurtosis 3.411036 4.335748

在下文中 我们对一些相关的上述指标进行了具体评论。

每日交易量对数比率具有正平均值的年份是

## [1] 2008 2011 2012 2014 2015 2016 2018 

所有每日成交量比率的平均值均按升序排列。

## 2007 2013 2009 2010 2017 2011 2014## Mean -0.002685 -0.002442 -0.001973 -0.00155 -1.7e-05 0.00014 2e-04## 2018 2015 2008 2012 2016## Mean 0.000257 0.000488 0.001203 0.001642 0.004228

每日交易量对数比率具有正中位数的年份是

## [1] 2008 2014 2015 2018 

道琼斯所有每日成交量比率的中位数均按升序排列。

## 2009 2011 2007 2017 2013 2010## Median -0.031748 -0.012839 -0.010972 -0.006322 -0.004922 -0.004217## 2016 2012 2008 2018 2015 2014## Median -0.002044 -1e-05 0.002222 0.003987 0.004112 0.01346

每日成交量比率具有正偏的年份是

## [1] 2009 2011 2016 2017 

所有每日成交量比率的平均值均按升序排列。

## 2012 2007 2008 2013 2015 2018## Skewness -0.878227 -0.802037 -0.632586 -0.297951 -0.285918 -0.281007## 2014 2010 2009 2016 2017 2011## Skewness -0.209417 -0.150523 0.066535 0.083826 0.088511 0.407226

有正峰度的年份是

## [1] 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 ## [11] 2017 2018 

均按升序排列。

## 2010 2009 2008 2017 2018 2016 2013## Kurtosis 1.353797 1.500979 2.616615 3.411036 4.335748 4.647785 4.68112## 2015 2007 2012 2014 2011## Kurtosis 4.754926 5.345212 8.115847 9.850061 14.55464

 

可以在2011、2014和2016年发现正的极端值。在2007、2011、2012、2014年可以发现负的极端值。

shapiro检验

## result## 2007 3.695053e-09## 2008 6.160136e-07## 2009 2.083475e-04## 2010 1.500060e-03## 2011 3.434415e-18## 2012 8.417627e-12## 2013 1.165184e-10## 2014 1.954662e-16## 2015 5.261037e-11## 2016 7.144940e-11## 2017 1.551041e-08## 2018 3.069196e-09

基于报告的p值 我们可以拒绝所有正态分布的零假设。

在所有报告的年份都可以发现偏离正态状态。

 

对数收益率GARCH模型

我将为工业平均指数 DJIA 的每日对数收益率建立一个ARMA-GARCH模型。

 

这是工业平均指数每日对数收益的图。

plot(ret)

离群值检测

Performance Analytics程序包中的Return.clean函数能够清除异常值。在下面 我们将原始时间序列与调整离群值后的进行比较。

clean(ret, boudt )

作为对波动率评估的更为保守的方法 本文将以原始时间序列进行分析。

以下是自相关和偏相关图。

acf(ret)

pacf(dj_ret)

上面的相关图表明p和q 0的一些ARMA p q 模型。将在本分析的该范围内对此进行验证。

单位根检验

我们运行Augmented Dickey-Fuller检验。

## ############################################### ## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # ## ############################################### ## Test regression none ## Call:## lm(formula z.diff ~ z.lag.1 - 1 z.diff.lag)## Residuals:## Min 1Q Median 3Q Max ## -0.081477 -0.004141 0.000762 0.005426 0.098777 ## Coefficients:## Estimate Std. Error t value Pr( |t|) ## z.lag.1 -1.16233 0.02699 -43.058 2e-16 ***## z.diff.lag 0.06325 0.01826 3.464 0.000539 ***## ---## Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1## Residual standard error: 0.01157 on 2988 degrees of freedom## Multiple R-squared: 0.5484, Adjusted R-squared: 0.5481 ## F-statistic: 1814 on 2 and 2988 DF, p-value: 2.2e-16## Value of test-statistic is: -43.0578 ## Critical values for test statistics: ## 1pct 5pct 10pct## tau1 -2.58 -1.95 -1.62

基于报告的检验统计数据与临界值的比较 我们拒绝单位根存在的零假设。

ARMA模型

现在 我们确定时间序列的ARMA结构 以便对结果残差进行ARCH效应检验。ACF和PACF系数拖尾表明存在ARMA 2,2 。我们利用auto.arima 函数开始构建。

## Series: ret ## ARIMA(2,0,4) with zero mean ## Coefficients:## ar1 ar2 ma1 ma2 ma3 ma4## 0.4250 -0.8784 -0.5202 0.8705 -0.0335 -0.0769## s.e. 0.0376 0.0628 0.0412 0.0672 0.0246 0.0203## sigma^2 estimated as 0.0001322: log likelihood 9201.19## AIC -18388.38 AICc -18388.34 BIC -18346.29## Training set error measures:## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE## Training set 0.0002416895 0.01148496 0.007505056 NaN Inf 0.6687536## ACF1## Training set -0.002537238

建议使用ARMA 2,4 模型。但是 ma3系数在统计上并不显着 进一步通过以下方法验证

## z test of coefficients:## Estimate Std. Error z value Pr( |z|) ## ar1 0.425015 0.037610 11.3007 2.2e-16 ***## ar2 -0.878356 0.062839 -13.9779 2.2e-16 ***## ma1 -0.520173 0.041217 -12.6204 2.2e-16 ***## ma2 0.870457 0.067211 12.9511 2.2e-16 ***## ma3 -0.033527 0.024641 -1.3606 0.1736335 ## ma4 -0.076882 0.020273 -3.7923 0.0001492 ***## ---## Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

因此 我们将MA阶q 2作为约束。

## Series: dj_ret ## ARIMA(2,0,2) with zero mean ## Coefficients:## ar1 ar2 ma1 ma2## -0.5143 -0.4364 0.4212 0.3441## s.e. 0.1461 0.1439 0.1512 0.1532## sigma^2 estimated as 0.0001325: log likelihood 9196.33## AIC -18382.66 AICc -18382.64 BIC -18352.6## Training set error measures:## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE## Training set 0.0002287171 0.01150361 0.007501925 Inf Inf 0.6684746## ACF1## Training set -0.002414944

现在 所有系数都具有统计意义。

## z test of coefficients:## Estimate Std. Error z value Pr( |z|) ## ar1 -0.51428 0.14613 -3.5192 0.0004328 ***## ar2 -0.43640 0.14392 -3.0322 0.0024276 ** ## ma1 0.42116 0.15121 2.7853 0.0053485 ** ## ma2 0.34414 0.15323 2.2458 0.0247139 * ## ---## Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

使用ARMA 2,1 和ARMA 1,2 进行的进一步验证得出的AIC值高于ARMA 2,2 。因此 ARMA 2,2 是更可取的。这是结果。

## Series: dj_ret ## ARIMA(2,0,1) with zero mean ## Coefficients:## ar1 ar2 ma1## -0.4619 -0.1020 0.3646## s.e. 0.1439 0.0204 0.1438## sigma^2 estimated as 0.0001327: log likelihood 9194.1## AIC -18380.2 AICc -18380.19 BIC -18356.15## Training set error measures:## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE## Training set 0.0002370597 0.01151213 0.007522059 Inf Inf 0.6702687## ACF1## Training set 0.0009366271coeftest(auto_model3)## z test of coefficients:## Estimate Std. Error z value Pr( |z|) ## ar1 -0.461916 0.143880 -3.2104 0.001325 ** ## ar2 -0.102012 0.020377 -5.0062 5.552e-07 ***## ma1 0.364628 0.143818 2.5353 0.011234 * ## ---## Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

所有系数均具有统计学意义。

## ARIMA(1,0,2) with zero mean ## Coefficients:## ar1 ma1 ma2## -0.4207 0.3259 -0.0954## s.e. 0.1488 0.1481 0.0198## sigma^2 estimated as 0.0001328: log likelihood 9193.01## AIC -18378.02 AICc -18378 BIC -18353.96## Training set error measures:## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE## Training set 0.0002387398 0.0115163 0.007522913 Inf Inf 0.6703448## ACF1## Training set -0.001958194coeftest(auto_model4)## z test of coefficients:## Estimate Std. Error z value Pr( |z|) ## ar1 -0.420678 0.148818 -2.8268 0.004702 ** ## ma1 0.325918 0.148115 2.2004 0.027776 * ## ma2 -0.095407 0.019848 -4.8070 1.532e-06 ***## ---## Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

所有系数均具有统计学意义。此外 我们使用TSA软件包报告中的eacf 函数。

## AR/MA## 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13## 0 x x x o x o o o o o o o o x ## 1 x x o o x o o o o o o o o o ## 2 x o o x x o o o o o o o o o ## 3 x o x o x o o o o o o o o o ## 4 x x x x x o o o o o o o o o ## 5 x x x x x o o x o o o o o o ## 6 x x x x x x o o o o o o o o ## 7 x x x x x o o o o o o o o o

以“ O”为顶点的左上三角形位于 p q { 1,2 ,, 2,2 1,3 }}内 它表示一组潜在候选对象 p q 值。ARMA 1,2 模型已经过验证。ARMA 2,2 已经是候选模型。让我们验证ARMA 1,3 。

## Call:## Coefficients:## ar1 ma1 ma2 ma3## -0.2057 0.1106 -0.0681 0.0338## s.e. 0.2012 0.2005 0.0263 0.0215## sigma^2 estimated as 0.0001325: log likelihood 9193.97, aic -18379.94coeftest(arima_model5)## z test of coefficients:## Estimate Std. Error z value Pr( |z|) ## ar1 -0.205742 0.201180 -1.0227 0.306461 ## ma1 0.110599 0.200475 0.5517 0.581167 ## ma2 -0.068124 0.026321 -2.5882 0.009647 **## ma3 0.033832 0.021495 1.5739 0.115501 ## ---## Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

只有一个系数具有统计意义。

结论是 我们选择ARMA 2,2 作为均值模型。现在 我们可以继续进行ARCH效果检验。

ARCH效应检验

现在 我们可以检验模型残差上是否存在ARCH效应。如果ARCH效应对于我们的时间序列的残差在统计上显着 则需要GARCH模型。

## ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects## data: model_residuals - mean(model_residuals)## Chi-squared 986.82, df 12, p-value 2.2e-16

基于报告的p值 我们拒绝没有ARCH效应的原假设。

让我们看一下残差相关图。

 

条件波动率

条件均值和方差定义为

μt E rt | Ft-1 σt2 Var rt | Ft-1 E [ rt-μt 2 | Ft-1]

条件波动率可以计算为条件方差的平方根。

eGARCH模型

将sGARCH作为方差模型的尝试未获得具有统计显着性系数的结果。而指数GARCH eGARCH 方差模型能够捕获波动率内的不对称性。要检查DJIA对数收益率内的不对称性 显示汇总统计数据和密度图。

## DAdjusted## nobs 3019.000000## NAs 0.000000## Minimum -0.082005## Maximum 0.105083## 1. Quartile -0.003991## 3. Quartile 0.005232## Mean 0.000207## Median 0.000551## Sum 0.625943## SE Mean 0.000211## LCL Mean -0.000206## UCL Mean 0.000621## Variance 0.000134## Stdev 0.011593## Skewness -0.141370## Kurtosis 10.200492

负偏度值确认分布内不对称性的存在。

这给出了密度图。

我们继续提出eGARCH模型作为方差模型 针对条件方差 。更准确地说 我们将使用ARMA 2,2 作为均值模型 指数GARCH 1,1 作为方差模型对ARMA-GARCH进行建模。

在此之前 我们进一步强调ARMA 0,0 在这种情况下不令人满意。ARMA-GARCH ARMA 0,0 eGARCH 1,1

## ## *---------------------------------*## * GARCH Model Fit *## *---------------------------------*## Conditional Variance Dynamics ## -----------------------------------## GARCH Model : eGARCH(1,1)## Mean Model : ARFIMA(0,0,0)## Distribution : sstd ## Optimal Parameters## ------------------------------------## Estimate Std. Error t value Pr( |t|)## mu 0.000303 0.000117 2.5933 0.009506## omega -0.291302 0.016580 -17.5699 0.000000## alpha1 -0.174456 0.013913 -12.5387 0.000000## beta1 0.969255 0.001770 547.6539 0.000000## gamma1 0.188918 0.021771 8.6773 0.000000## skew 0.870191 0.021763 39.9848 0.000000## shape 6.118380 0.750114 8.1566 0.000000## Robust Standard Errors:## Estimate Std. Error t value Pr( |t|)## mu 0.000303 0.000130 2.3253 0.020055## omega -0.291302 0.014819 -19.6569 0.000000## alpha1 -0.174456 0.016852 -10.3524 0.000000## beta1 0.969255 0.001629 595.0143 0.000000## gamma1 0.188918 0.031453 6.0063 0.000000## skew 0.870191 0.022733 38.2783 0.000000## shape 6.118380 0.834724 7.3298 0.000000## LogLikelihood : 10138.63 ## Information Criteria## ------------------------------------## Akaike -6.7119## Bayes -6.6980## Shibata -6.7119## Hannan-Quinn -6.7069## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals## ------------------------------------## statistic p-value## Lag[1] 5.475 0.01929## Lag[2*(p q) (p q)-1][2] 6.011 0.02185## Lag[4*(p q) (p q)-1][5] 7.712 0.03472## d.o.f 0## H0 : No serial correlation## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals## ------------------------------------## statistic p-value## Lag[1] 1.342 0.2467## Lag[2*(p q) (p q)-1][5] 2.325 0.5438## Lag[4*(p q) (p q)-1][9] 2.971 0.7638## d.o.f 2## Weighted ARCH LM Tests## ------------------------------------## Statistic Shape Scale P-Value## ARCH Lag[3] 0.3229 0.500 2.000 0.5699## ARCH Lag[5] 1.4809 1.440 1.667 0.5973## ARCH Lag[7] 1.6994 2.315 1.543 0.7806## Nyblom stability test## ------------------------------------## Joint Statistic: 4.0468## Individual Statistics: ## mu 0.2156## omega 1.0830## alpha1 0.5748## beta1 0.8663## gamma1 0.3994## skew 0.1044## shape 0.4940## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)## Joint Statistic: 1.69 1.9 2.35## Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75## Sign Bias Test## ------------------------------------## t-value prob sig## Sign Bias 1.183 0.23680 ## Negative Sign Bias 2.180 0.02932 **## Positive Sign Bias 1.554 0.12022 ## Joint Effect 8.498 0.03677 **## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:## ------------------------------------## group statistic p-value(g-1)## 1 20 37.24 0.00741## 2 30 42.92 0.04633## 3 40 52.86 0.06831## 4 50 65.55 0.05714## Elapsed time : 0.6527421

所有系数均具有统计学意义。但是 根据以上报告的p值的标准化残差加权Ljung-Box检验 我们确认该模型无法捕获所有ARCH效果 我们拒绝了残差内无相关性的零假设 。

作为结论 我们通过在下面所示的GARCH拟合中指定ARMA 2,2 作为均值模型来继续进行。

ARMA-GARCH ARMA 2,2 eGARCH 1,1

## ## *---------------------------------*## * GARCH Model Fit *## *---------------------------------*## Conditional Variance Dynamics ## -----------------------------------## GARCH Model : eGARCH(1,1)## Mean Model : ARFIMA(2,0,2)## Distribution : sstd ## Optimal Parameters## ------------------------------------## Estimate Std. Error t value Pr( |t|)## ar1 -0.47642 0.026115 -18.2433 0## ar2 -0.57465 0.052469 -10.9523 0## ma1 0.42945 0.025846 16.6157 0## ma2 0.56258 0.054060 10.4066 0## omega -0.31340 0.003497 -89.6286 0## alpha1 -0.17372 0.011642 -14.9222 0## beta1 0.96598 0.000027 35240.1590 0## gamma1 0.18937 0.011893 15.9222 0## skew 0.84959 0.020063 42.3469 0## shape 5.99161 0.701313 8.5434 0## Robust Standard Errors:## Estimate Std. Error t value Pr( |t|)## ar1 -0.47642 0.007708 -61.8064 0## ar2 -0.57465 0.018561 -30.9608 0## ma1 0.42945 0.007927 54.1760 0## ma2 0.56258 0.017799 31.6074 0## omega -0.31340 0.003263 -96.0543 0## alpha1 -0.17372 0.012630 -13.7547 0## beta1 0.96598 0.000036 26838.0412 0## gamma1 0.18937 0.013003 14.5631 0## skew 0.84959 0.020089 42.2911 0## shape 5.99161 0.707324 8.4708 0## LogLikelihood : 10140.27 ## Information Criteria## ------------------------------------## Akaike -6.7110## Bayes -6.6911## Shibata -6.7110## Hannan-Quinn -6.7039## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals## ------------------------------------## statistic p-value## Lag[1] 0.03028 0.8619## Lag[2*(p q) (p q)-1][11] 5.69916 0.6822## Lag[4*(p q) (p q)-1][19] 12.14955 0.1782## d.o.f 4## H0 : No serial correlation## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals## ------------------------------------## statistic p-value## Lag[1] 1.666 0.1967## Lag[2*(p q) (p q)-1][5] 2.815 0.4418## Lag[4*(p q) (p q)-1][9] 3.457 0.6818## d.o.f 2## Weighted ARCH LM Tests## ------------------------------------## Statistic Shape Scale P-Value## ARCH Lag[3] 0.1796 0.500 2.000 0.6717## ARCH Lag[5] 1.5392 1.440 1.667 0.5821## ARCH Lag[7] 1.6381 2.315 1.543 0.7933## Nyblom stability test## ------------------------------------## Joint Statistic: 4.4743## Individual Statistics: ## ar1 0.07045## ar2 0.37070## ma1 0.07702## ma2 0.39283## omega 1.00123## alpha1 0.49520## beta1 0.79702## gamma1 0.51601## skew 0.07163## shape 0.55625## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)## Joint Statistic: 2.29 2.54 3.05## Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75## Sign Bias Test## ------------------------------------## t-value prob sig## Sign Bias 0.4723 0.63677 ## Negative Sign Bias 1.7969 0.07246 *## Positive Sign Bias 2.0114 0.04438 **## Joint Effect 7.7269 0.05201 *## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:## ------------------------------------## group statistic p-value(g-1)## 1 20 46.18 0.0004673## 2 30 47.73 0.0156837## 3 40 67.07 0.0034331## 4 50 65.51 0.0574582## Elapsed time : 0.93679

所有系数均具有统计学意义。在标准化残差或标准化平方残差内未发现相关性。模型正确捕获所有ARCH效果。然而

*对于某些模型参数 Nyblom稳定性检验无效假设认为模型参数随时间是恒定的

*正偏差为零的假设在5 的显着性水平上被拒绝 这种检验着重于正面冲击的影响

*拒绝了标准化残差的经验和理论分布相同的Pearson拟合优度检验原假设

注意 ARMA 1,2 eGARCH 1,1 拟合还提供统计上显着的系数 标准化残差内没有相关性 标准化平方残差内没有相关性 并且正确捕获了所有ARCH效应。但是 偏差检验在5 时不如ARMA 2,2 eGARCH 1,1 模型令人满意。

进一步显示诊断图。

我们用平均模型拟合 红线 和条件波动率 蓝线 显示了原始的对数收益时间序列。

p - addSeries(mean_model_fit, col red , on 1)p - addSeries(cond_volatility, col blue , on 1)

模型方程式

结合ARMA 2,2 和eGARCH模型 我们可以

yt − ϕ1yt−1 − ϕ2yt−2 ϕ0 ut θ1ut−1 θ2ut-2ut σtϵt ϵt N 0,1 ln⁡ σt2 ω ∑j 1q αjϵt−j2 γ ϵt−j–E | ϵt−j | ∑i 1pβiln σt−12

使用模型结果系数 结果如下。

yt 0.476 yt-1 0.575 yt-2 ut 0.429 ut-1 0.563 ut-2ut σtϵt ϵt N 0,1 ln⁡ σt2 -0.313 -0.174ϵt-12 0.189 ϵt−1–E | ϵt−1 | 0.966 ln σt−12

波动率分析

这是由ARMA 2,2 eGARCH 1,1 模型得出的条件波动图。

plot(cond_volatility)

显示了年条件波动率的线线图。

pl - lapply(2007:2018, function(x) { plot(cond_volatility[as.character(x)])

 

显示了按年列出的条件波动率箱图。

2008年之后 日波动率基本趋于下降。在2017年 波动率低于其他任何年。不同的是 与2017年相比 我们在2018年的波动性显着增加。

 

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