则称序列服从GARCH(p, q)过程。

GARCH模型的优缺点

优点有：

目前为止，GARCH模型是最有效的异方差序列拟合模型。

缺点有：

GARCH模型的适用范围受制于参数的约束；对正负的扰动项反应是对称的，难免会影响预测的精度。

3. 实证分析

3.1. 数据描述

本文分析近年来云南省特色股票的日开盘价变化的基本特征，基于 2008 年 1 月 2 日 2017 年 12 月 29 日 期间的云南白药、云南旅游、昆药集团、中国银行、建设银行等5支股票的开盘价格为基础，抽样频率为周一至周五共收集2192个样本数据.数据来源于大智慧这个软件，在计算过程中，极少数会遇到数据缺失，那么选择剔除缺失数据，因为数据极少，对结果应该没有实质性的影响。用Eviews7.2对五支股票做相关的描述性统计、参数估计，最后通过建立较为理想的模型对云南多支股票进行预测。

见表1是股票的原始部分开盘价数据的展示。

3.2. 序列的时序图

原始序列的时序图看出是非平稳时间序列，有明显的波动趋势，故对数据进行简单处理，研究收益率的波动情况来反应股市价格的变化。五支股票表现出两个共同特征：一，波动聚集性(有时波动大，有时波动小，往往是成群出现的)；二，杠杆效应(即股票收益率序列向上波动和向下波动的幅度并不一致)。说明残差项可能具有异方差性。由时序图看出大致是非平稳时间序列，笔者在文中采用ADF检验判断序列的平稳性。

序列的描述性统计和相关性分析如下：

由表2可知，云南的三支股票当中偏度都小于0，说明序列分布出现左偏，而同属世界的两支股票偏度大于0，说明右偏；峰度大于3，说明序列{r}具有尖峰和厚尾的特征。概率P值接近0，说明序列r不服从正态分布。可能存在ARCH效应。

Table 1. The part of the five stock data is as follows

表1. 五支股票的部分数据如下

Table 2. Descriptive statistics of five stocks

表2. 五支股票的描述性统计

由表3可知，各指标的ADF值都小于1%水平下的临界值，且概率P值极小，说明各序列平稳，可对其建立GARCH族模型。

3.2.1. 自相关图与偏自相关图

截取滞后45阶的自相关图表明中国银行、建设银行、云南白药、云南旅游等四支股票都存在显著的自相关性，四支股票的概率P接近于0，所以存在ARCH效应。说明该期收益率受前期收益率的影响，而昆药集团这支股票P值不是明显的接近0，该序列不存在显著相关性，说明收益率不受前期收益率的影响。

3.2.2. ARCH效应检验

由表4可知ARCH-LM检验F统计量对应的概率P 0.05，拒绝原假设，说明收益率序列存在ARCH效应，可对其运用GARCH族模型。

3.3. 建立GARCH模型

分别对云南旅游、中国银行、建设银行、云南白药、昆药集团等五支股票建立低价GARCH类模型。并根据AIC和SC最小的准则，选出适合各支股票最优的GARCH模型。首先对分布滞后模型的残差系列建立ARCH模型，本文选取云南旅游这支股票为例分别建立ARCH模型和GARCH模型，经过反复试验，云南旅游这支股票建立ARCH(2)模型。根据AIC和SC值越小，Log值越大的原则，云南旅游这支股票选定GARCH(1,2)模型，GARCH(1,2)模型表达式为：

均值方程：